Изучение квадратных уравнений – одна из важнейших тем, которые изучаются в курсе средней школы, основа, на которой строится изучение алгебры. Квадратные уравнения широко используются при решении показательных, тригонометрических, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых и принято решать любые квадратные уравнения. Тем не менее, существуют и другие способы решения, позволяющие быстро и рационально решать квадратные уравнения. Эти способы достаточно редко разбираются в школах, в которых математика не является профилирующим предметом. Мне представляется целесообразным разобрать с детьми некоторые из этих способов, так как мой личный опыт показал, что впоследствии ученики решают многие уравнения устно и практически безошибочно.
При проведении уроков по теме «Квадратные уравнения» я использую методику «Взаимообмен заданиями». На мой взгляд, данная методика, при изучении нового материала дает ученикам возможность:

• лучшего усвоения новой темы, так как дети как минимум три раза прорабатывают предложенную им информацию, а объясняя соседу свою карточку, могут для себя выяснить оставшиеся неясными моменты;
• работать в своем личном темпе, что, безусловно, способствует более глубокому усвоению материала;
• выработать навыки социального и делового общения.

Методика «Взаимообмен заданиями» предусматривает работу в парах и группах сменного состава. 
Задачи учащихся при изучении нового материала:

• Разобраться в материале самостоятельно.
• Сформулировать и задать друг другу вопросы, способствующие наилучшему усвоению темы.
• Объяснить свой вариант карточки другому ученику.
• Проанализировать все карточки и сделать вывод о возможных решениях, предложенных заданий.
• Решить самостоятельную работу.
• Оценить свою работу и сравнить результат с оценкой учителя.

Схема проведения урока:

1. 2 урока (1,5 часа) – новый материал, включающий следующие разделы:

• Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета.
• Разложение квадратного трехчлена на множители.
• Уравнения, сводящиеся к квадратным.

2. 1 урок – решение уравнений, закрепление пройденного материала.
3. 2 урока (1,5 часа) – новый материал, включающий следующие разделы:

• Решение квадратных уравнений способом переброски.
• Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
• Использование теоремы для решения некоторых задач.

4. 1 урок – решение уравнений, закрепление пройденного материала.При изучении нового материала (п.3), карточки вводятся при помощи ассистентов. Подготовка ассистентов происходит накануне урока. Один ассистент знает одну карточку и вводит ее одному ученику в каждой малой группе. Он объясняет образец и вписывает его в тетрадь учащегося, отвечая на его вопросы или задавая контрольные вопросы.
Целесообразно подготовить ассистентов из одной малой группы. Они получают возможность взять карточки на дом и самостоятельно подготовиться к вводу. В этом случае учитель проверяет готовность ассистентов перед уроком. После выполнения этими учениками своих обязанностей, они образуют малую группу и приступают также к взаимообмену.
В ходе такого урока учитель должен:

• Строго регламентировать время выполнения каждого этапа деятельности учащихся.
• Правильно рассчитывать способности и возможности класса, регулируя сложность карточек.
• Следить за тем, чтобы все ученики одновременно приступили к выполнению самостоятельной работы.
• Обратить внимание учащихся на запись исходной карточки в тетрадь партнера.

Номера, указанные в карточках приводятся по учебнику Ш.А.Алимова.

Алгебра 8-й класс
«Решение квадратных уравнений»
Тип урока: комбинированный урок.
Цели:
Обучающие:

• ознакомить учащихся с крупным блоком нового материала;
• провести первичное закрепление изученного материала;
• формирование навыка организации учебного деятельности.

Развивающие:

• развитие умений учебно-познавательной деятельности;
• развитие культуры устной и письменной речи;
• развитие интеллектуальной, волевой, мотивационной сфер личности;

Воспитательные:

• воспитание ответственности, аккуратности, организованности при выполнении заданий, критичного отношения к себе;
• воспитание настойчивости в приобретении знаний и умений,
• формирование умения принимать самостоятельные решения.

План урока:

1. Групповой ввод карточек.

Дети объединяются в группы с одинаковыми карточками (4 группы по 6-7 человек). Состав групп может определяться учителем или проходить произвольно при выборе учениками карточек одного цвета. Группа включает в себя детей, имеющих разный уровень знаний по математике.
Каждая группа выполняет задания этой карточки.
2. Каждый член группы выполняет первую часть карточки (изучение теории и разбор предложенного упражнения); затем записывает себе в тетрадь теоретическую часть. Задают друг другу вопросы, уточняют непонятные места.
2.1. При проведении урока, описанного в п.3 ассистенты могут объяснять новый материал или выступать в качестве консультантов.
3. Выполняется вторая часть карточки (каждым отдельно).
4. Группа получает образец учителя и еще раз производит сверку и уточнения.
5. Ученики расходятся в малые группы (по 4 человека – принцип: различный цвет карточек). Начинается работа в парах сменного состава. Ученики записывают свою информацию в карточку (тетрадь) напарника и, решив вторую часть карточки, обмениваются ими.
6. В конце урока проводится самостоятельная работа, контролирующая то, как усвоен пройденный материал.Каждый ученик, выполнив самостоятельную работу, выставляет себе ту оценку, которую как он считает, он получит после проверки учителя.

6.1. Работу могут проверить ассистенты или каждый ученик самостоятельно. Воспользовавшись решением, предложенным учителем (например написанным на доске или интерактивной доске).
7. В течение урока ведется лист учета, который оформляется согласно данной методике.

Карточка №1

Тема: Приведённое квадратное уравнение.
Теорема Виета.

1. Квадратное уравнение вида
x² + px + q = 0, в котором старший коэффициент равен 1, называется приведённым.

2. Всякое квадратное уравнение
ax² + bx + c = 0
может быть приведено к виду x² + px + q = 0 делением обеих частей уравнения на a ≠ 0.

Пр. 4x² + 4x – 3 = 0 /: a = 4
         x² + x −  = 0

3. Для приведённого квадратного уравнения справедлива теорема:
Т. Виета: Если x и x - корни уравнения
x² + px + q = 0, то справедливы
формулы: x + x = −p
                     x ^. x = q , т.е.

Сумма корней приведённого
квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком,
а произведение корней равно свободному члену.

Пр. 1) x² + 4x − 5 = 0 a = 1, p = 4, q = −5
x + x = −4 x = 1 (корни находятся
x ^. x = −5 x = −5 подбором)

2) Составить приведённое квадратное ур-е корни которого x = 3, x = 4.
Т.к. ур-е приведённое, т.е. x² + px + q = 0, то по т. Виета
x + x = −p, 3 + 4 = −p, p = −7 => x² − 7x + 12 = 0
x ^. x = q, 3 ^. 4 = q, q = 12

3) Один корень уравнения x² + px − 12 = 0 равен x = 4. Найти p; x?
По т. Виета x + x = −p , т.к. x = 4, то
x ^. x = −12 4x = −12 => 
4 − 3 = −p => p = −1

№ 451 (3, 5); 450 (3, 5); 454 (1); 455 (1)

Карточка №2

Тема: Разложение квадратного трёхчлена на множители.

1. Многочлен ax² + bx + c, где a ≠ 0 называют квадратным трёхчленом.

2. Теорема. Если x и x - корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0, то при всех x
справедливо равенство ax² + bx + c = a (x − x)(x − x)

Пр. 1) Упростить выражение 
Разложим числитель и знаменатель дроби на множители:
а) Уравнение 2x² + 5x − 3 = 0. a = 2, b = 5, c = −3
Найдём его корни: D = b² − 4ac, D = 25 − 4 ^. 2 ^. (−3) = 49
 ; 
По доказанной теореме (1)
2x² + 5x − 3 = 2 (x − )(x − (−3)) = 2 (x − )(x + 3) = (2x − 1)(x + 3)

б) Рассмотрим уравнение: x² − x − 12 = 0 (т.е. приравниваем знаменатель к нулю)
D = 1 − 4 ^. (−12) = 49 , x=4, x= −3
По формуле (1) x² − x − 12 = 1 ^. (x − 4)(x − (−3)) = (x − 4)(x + 3)

в) Запишем получённое выражение:

1. Разложить при помощи формулы (1) квадратный трёхчлен на множители:

а) x² + 5x + 6

б) −6x² + 7x − 2

в) x² + 4x − 5

2. Сократить дробь:

а) 

б) 

Карточка №3

Тема: Уравнения, сводящиеся к квадратным.

1. Уравнение ax⁴ + bx² + c = 0, где a ≠ 0, называют биквадратным.
Пр. 1. Решить биквадратное ур-е 9x⁴ + 5x² − 4 = 0
1) Обозначим x² = t. Тогда данное ур-е примет вид: 9t² + 5t − 4 = 0.
Решим его: a = 9, b = 5, c = −4
D = b² − 4ac, D = 25 − 4 ^. 9 ^. (−4) = 169
, ; ; 

2) Вернёмся теперь к нашему обозначению x² = t и подставим вместо t,
полученные значения:
 и  (решений нет)

; 

2. Решить уравнение:  x + 2 ≠ 0, x ≠ −2; x − 3 ≠ 0, x ≠ 3
, умножим обе части ур-я на (x + 2)(x − 3)
3(x − 3) − 4(x + 2) = 3(x + 2)(x − 3)
3x − 9 − 4x − 8 = 3(x² − x − 6)
−x − 17 = 3x² − 3x − 18
3x² − 2x − 1 = 0
D = 4 − 4 ^. 3 (−1) = 16  ; 
При этих x знаменатель дроби исходного ур-я не обращается в 0.
Ответ: 

Решить уравнения:

1) 

2) 

3) 

4)* 

Карточка №4

Тема: Уравнения, сводящиеся к квадратным.

Пр1. Решить уравнение:
 (1)
Т.к. это дроби, то , ; , , т.е.

Умножим обе части ур-я на (x − 1)(x − 2), получим:
1 + 3(x − 2) = (3 − x)(x − 1)
1+3x − 6 = −x² + 4x − 3
x² − x − 2 = 0

D = b² − 4ac, D = 1 − 4 ^. (−2) = 9

, , , , но 
при x = 2 знаменатель ур-я (1) обращается в 0, следовательно ответ: x = −1
(x = 2 называется посторонним корнем)

Т.о. при решении ур-я, содержащего неизвестное в знаменателе дроби необходима проверка.

Пр2.  (2)

1) Разложим x² + 7x + 12 на множители:
x² + 7x + 12 = x² + 3x + 4x + 12 = x(x + 3) + 4(x + 3) = (x + 3)(x + 4)

2) , x = −3

3) Умножим обе части ур-я (2) на (x + 3)(x + 4), получим:
(x + 7)(x + 3) − (x + 4) + 1 = 0
x² + 10x + 21 − x − x + 1 = 0
x² + 9x + 18 = 0

,  (посторонний корень).
Ответ: x = −6

Решить уравнение:

1) 

2) 

3)* 

№1	№2	№3	№4
1) Решите используя т. Виета	1) Решите используя т. Виета	1) Решите используя т. Виета	1) Решите используя т. Виета
x2 + 4x − 5 = 0	x2 − 6x − 7 = 0	x2 + 6x − 40 = 0	x2 − x − 2 = 0
2) Разложите на множители	2) Разложите на множители	2) Разложите на множители	2) Разложите на множители
8x2 + 10x + 3	x2 + 4x − 5	2x2 − x − 1	5x2 + 3x − 2
3) Решите биквадратное ур-е	3) Решите биквадратное ур-е	3) Решите биквадратное ур-е	3) Решите биквадратное ур-е
x4 − 10x2 + 9 = 0	x4 + x2 − 20 = 0	x4 − 4x2 − 5 = 0	x4 + 3x2 − 4 = 0
4)* Решите уравнение	4)* Решите уравнение	4)* Решите уравнение	4)* Решите уравнение

Домашнее задание: два встречных варианта.

Все статьи автора «Поречная Елена Анатольевна»