В личностно-ориентированной обучающей системе, описанной в [7, 8], в качестве фундаментальной инструментальной базы системы индивидуального тестирования использованы алгоритмы на графовых моделях и математический аппарат импликативных матриц. Остановимся в данной статье более подробно на применении математического аппарата импликативных матриц при формировании критериально-ориентированного индивидуального теста.

Итак, заключительным этапом алгоритма формирования критериально-ориентированного индивидуального теста в личностно ориентированной обучающей системе является выбор оптимального набора тестовых заданий [9].

Пусть для диагностики и проверки знаний, умений и навыков учащегося по некоторой теме курса математики имеется система индивидуальных тестовых заданий T={T₁, T₂, …, T_k}. Каждое из тестовых заданий T_i предназначено для контроля определенного набора элементов знаний.

Соответствие между элементами знаний изучаемого материала и тестовыми заданиями представим в виде импликативной матрицы. Импликативная матрица представляет собой таблицу, строки которой соответствуют тестовым заданиям, а столбцы элементам знания изучаемого материала (таблица 1).

Сформируем индивидуальный тест IT={IT₁, IT₂, …, IT_l}, проверяющий заданный набор A элементов знаний. Данный набор устанавливается в зависимости от множества M вершин, ассоциированных с неусвоенными элементами знания.

Таблица 1 – Импликативная матрица системы индивидуальных тестовых заданий T={T₁, T₂, …, T_k}

В качестве примера в виде импликативной матрицы представим набор индивидуальных тестовых заданий T₁-T₅ по теме «Системы уравнений» (таблица 2) [10]. Для проверки неусвоенных элементов знаний можно сформировать индивидуальный тест T={T₁, T₂, T₃, T₄, T₅}.

Таблица 2 – Импликативная матрица системы индивидуальных тестовых заданий T={T₁, T₂, T₃, T₄, T₅}

T₁. Равносильными уравнениями на множестве всех действительных чисел являются

1)     x² = x³ и x = 1

2)     x + 1 = 0 и (x + 1)(x + 2) = 0

3)     x + 1 = 0 и (x + 1)(x² + 2) = 0

4)     x = 5 и x² – 5x = 0

T₂. Решением уравнения x² – 2x – 4 = 0 является число

1)     1

2)     2

3)     -1

4)     -2

T₃. Равносильными уравнению x + 2 = x² на множестве всех действительных чисел являются уравнения

1)     x² – x – 2 = 0

2)     5(x + 2) = 5x²

3)     x(x + 2) = x³

4)     (x + 2)(x² + 5) = x²(x² + 5)

T₄. Решение однородной системы уравнений

1)     (-9, -11); (9; 11)

2)     (9, 11); (11; 9)

3)     (-11, -9); (9; 11)

4)     (-9, -11); (11; 9)

T₅. Симметрической системой уравнений является

Полученный в результате этого индивидуальный тест может оказаться не оптимальным по набору входящих в него тестовых заданий. Поэтому естественно потребовать, чтобы индивидуальный тест выбирался в соответствии с некоторыми критериями оптимальным образом [11]. В качестве таких критериев могут выступать следующие:

К1. В тесте должно быть минимальное (или максимальное) число проверяемых «лишних» элементов знаний.

К2. Тест должен содержать, как можно более простые тестовые задания. Сложность тестовых заданий можно оценивать, например:

а) числом проверяемых элементов знаний;

б) максимальным расстоянием (на семантической сети) между содержащимися в одном тестовом задании контролируемыми элементами знаний;

в) экспертными оценками;

г) предполагаемым временем выполнения тестового задания.

К3. Тест должен содержать минимальное число тестовых заданий.

К4. Элементы знаний из заданного набора A должны повторяться не менее n раз (и (или) не более m раз).

Очевидно, такие тесты могут быть сформулированы различными способами. Так, например, для проверки набора элементов знаний A = {a1, a2} можно сформировать тесты

IT₁={T₁, T₂}, IT₂={T₃}, IT₃={T₄},

каждый из которых обладает своими достоинствами и недостатками (см. таблицу 1).

Тест IT₁ состоит из двух тестовых заданий T₁ и T₂, контролирующих элементы знаний из набора A. При этом он почти не перегружен проверкой «лишних» элементов знаний – сверх предназначенных для проверки элементов знаний из набора A в нем контролируется только один элемент a_n.

Тест IT₂ состоит только из одного тестового задания T₃, и в этом смысле он лучше теста IT₁. С другой стороны, тестовое задание T₃ сложнее каждого из тестовых заданий T₁ и T₂ (например, потому, что перегружено по числу контролируемых элементов знаний).

Тест IT₃ состоит только из одного тестового задания T₄, но может оказаться не равнозначным тесту IT₂, например, из-за большого семантического расстояния между элементами знаний a₂ и a_n (см. таблицу 1).

Для всех перечисленных задач автором построены математические модели и предложены решения, допускающие реализацию на персональном компьютере [12]. В решениях были использованы алгоритм выбора минимального числа строк, покрывающих импликативную матрицу, алгоритм нахождения минимального покрытия заданного множества вершин в графе, алгоритм отыскания n–кратного покрытия и другие алгоритмы [13, 14, 15, 16, 17].

Например, в таблице 3 представлен в виде импликативной матрицы набор заданий индивидуального теста для множества вершин M={2,3,6}, графовой модели G изучаемого материала (рис. 1).

Рисунок 1 – Графовая модель G изучаемого материала

В данном случае набор тестовых заданий возможно оптимизировать, удалив из него задание 4 (или 2). Затем в соответствии с указанными критериями формируем индивидуальные тесты IT₁={T₁, T₂, T₃}, IT₂={T₁, T₂, T₃, T₅}, IT₃={T₂, T₃}, IT₄={T₂, T₅} и др. После чего выбираем в силу тех или иных условий наиболее подходящий вариант индивидуального теста.

Таблица 3 – Импликативная матрица набора заданий индивидуального теста для множества вершин M={2,3,6}

Таким образом, используя математический аппарат импликативных матриц, мы получаем индивидуальный тест, отвечающий запросу ученика [18]. Такой тест учитывает индивидуальные особенности учащихся в усвоении учебного материала, оптимально развивая с уже достигнутого уровня обученности, вопросы охватывают весь объём предметного курса.

Применение инновационных математических методов для формализации различных элементов образовательного процесса [19] подобных рассмотренным подходам в статье позволяет наиболее эффективно организовывать обучение в контексте личностно-ориентированного обучения. Особенно действенно личностно-ориентированное обучение с использованием системы индивидуального тестирования для организации профилизации учебного процесса в старших классах школы [20, 21, 22]. Элементы инновационной системы индивидуального тестирования широко применяются при разработке программных продуктов автоматизированной поддержки работы учителя студентами физико-математического профиля направления подготовки «Педагогическое образование» [23]. Данные программные оболочки успешно используются студентами при организации обучения во время педагогической практики и в последующем внедряются учителями в образовательный процесс [24, 25]. Экспериментальные исследования в предпрофильных и профильных классах подтверждают высокую результативность применения математических методов с использованием импликативных матриц в обучении математике и информатике в школе [26, 27].