В своих трудах целый ряд выдающихся представителей, в частности, Н.А. Бердяев (1874 – 1948), В.П.Вахтеров  (1853 – 1924), Н.Х. Вессель (1834 – 1906), П.Ф. Каптерев (1849 — 1922), П.Ф. Лесгафт (1837 – 1909), Н.И. Пирогов (1810-1881), В.В. Розанов (1856—1919), С. Л. Франк (1877 – 1950) и др., обращались, прежде всего, к человеческой индивидуальности, считая человека единственной и непреходящей ценностью.

Активно обсуждая проблемы воспитания и развития личности, они в значительной степени способствовали переосмыслению целей, задач и методов образования, отмечая, что задачей школы должна стать подготовка не только исполнительной, но и инициативной, самостоятельной, широко образованной личности. «Один и тот же предмет можно преподать так, что он будет тренировать только память и внушать отвращение к учению, но можно … и так, что он будет развивать самодеятельность, мыслительные способности, давать навыки к строгому логическому мышлению, … развивать любознательность, трудолюбие … Ученик учится при этом не только знаниям, а еще и тому, как их приобрести» [1].                                

Ориентация на личность ребенка стала целью педагогики Василия Порфирьевича  Вахтерова (1853 – 1924), который считал, что следует научить своего ученика не механически постигать некие догматы и истины, а самому учиться открывать эти истины.           

Понятие «личность» стало неотъемлимой частью и педагогических взглядов  Петра Францевича Лесгафта (1837 – 1909), основной целью воспитания, по мнению которого, является формирование личности человека.

Еще один популяризатор педагогических идей 1860-х гг. Николай Федорович Бунаков (1837-1905) видел задачу школы прежде всего в том, чтобы открыть «детям путь и указать средства к самоусовершенствованию» [2, с.202].

Представитель русской педагогики XIX в. Константин Дмитриевич Ушинский (1824-1870) рассматривал цели и задачи обучения в контексте развития личности, понимая масштаб творческих возможностей обучающихся:  «…Следует передать ученику не только те или иные знания, но и развить в нем желание и способность са­мостоятельно, без учителя, приобретать новые позна­ния» [3, с.500].                                                     

Основополагающими дидактическими принципами процесса обучения он считал:

-сознательность, активность, самостоятельность, когда «возбуждается самостоятельная работа головы учащегося», что является «единственно прочным основанием всякого плодотворного учения»;

-наглядность;

-последовательность (“постепенность”);                                                                                                                        

-доступность, т. е., “отсутствие чрезмерной напряженности и чрезмерной легкости”;                               

- прочность усвоения, когда ученик «воспроизводит самостоятельно следы воспринятых ранее представлений» [4, с.30].

Эти принципы, собственно, и были положены им в основу проектирования упражнений для обучения чтению, которые с первых шагов приучали учащихся к осмыслению этого процесса и формировали в их сознании понятийную базу. С этой целью автором предлагался достаточно разнообразный комплекс упражнений, целью которых было, например, выбрать названия, переделать рассказ, переписать в другом времени, подчеркнуть изменившиеся слова, пересказать короткими предложениями, разделить рассказ на части, определить род слов, заменить подлежащее местоимениями, а также, достаточно распространенным было упражнение на классификацию и определение понятий.                                                                

Лев Николаевич Толстой (1828-1910) считал важнейшими задачами образования  формирование у  детей творческого мышления, а также их духовных потребностей и нравственных качеств. В основу педагогической деятельности им  было положено «понимание форм мышления и логики развертывания предметного материала, приводившее к познанию сущности вещей, выявлению генетического исходного, всеобщего, которое как «частность» должно было стать исходным в изучении отдельных учебных дисциплин» [5]. Уже начальный этап процесса познания должен, по его убеждению, формировать у детей умения «сличать», «различать», «распутывать».

Достижение прочных знаний, умений, навыков воспринимался Л.Н.Толстым как сложный, длительный, многоступенчатый процесс, где все взаимозависимо. Успешности познания должен был способствовать и тщательный выбор упражнений и заданий.

Декларируемые Толстым дидактические принципы отразились и на требованиях к разработке заданий и упражнений, в основу которой легли учет

-тесной связи материала с жизнью, с тем, что детям окажется нужным как для самостоятельного продолжения учения, так и для  непосредственного применения в практической жизни;

-постепенного усложнения (от подражательных к творческим);

-сочетания  многообразия методов (устных, письменных, графических, практически-трудовых);

-сочетания форм (индивидуальных и коллективно-групповых);

-постепенности подведения учащихся к выполнению комплексных упражнений, требующих от ученика умения соединять знания из разных учебных предметов.

В частности, при обучении чтению система упражнений выглядит следующим образом: назвать предметы с требуемой буквой, отработать навык узнавания этой буквы в разных сочетаниях или шрифтах, написать букву и сравнить составляющие ее элементы линий и др.

Обучение математике также включало в себя были разнообразный комплекс упражнений, например, на составление учащимися задач на примере своего жизненного опыта, разложение числа и сведение чисел к единице, измерение, упражнение на определение порядка действий, развитие глазомера, а также чувство веса предметов и др.

Подводя итого нашему исследованию этого периода в истории развития педагогики, который длится с середины 19-го века до 20-х гг. 20-го века, мы можем сделать вывод о том, что его результатом стало теоретическое  обоснование многими выдающимися личностями важнейших дидактических принципов, которые позднее  легли в основу разработки эффективных учебных пособий, методов учебно-воспитательной работы, методик преподавания отдельных учебных предметов. На основе этих принципов различными авторами были разработаны соответствующие упражнения.

Очень важно отметить, что именно на этом этапе упражнения начинают характеризоваться системностью, последовательностью, природосообразностью и учетом особенностей психики на каждом уровне познания, т.е., принципами, которые мы учитываем и сегодня при проектировании учебных задач. В частности, в педагогической деятельности Л.Н Толстой применял упражнения, восходящие в своем развитии от простого к сложному, от подражания к творчеству. Подобное восхождение по степеням сложности мы наблюдаем и сегодня в классификациях учебных задач многих современных исследователей, в частности, А.А.Вербицкого, С.Ф.Жуйкова, С.М.Небогатиковой и пр.              

Итак, в качестве важнейшего достижения этого периода, в контексте нашего исследования, мы рассматриваем подведение под разработку упражнений теоретической базы в виде дидактических принципов, вследствие чего, ранее разрозненные и не связанные единой целью, упражнения прочно заняли свою «дидактическую нишу» в учебной деятельности благодаря своим новым качественным характеристикам. Понятия «учебная задача» мы ни в коем случае не избегаем – в педагогической литературе этого периода пока оно не встречается. Однако, данный период мы можем считать  «стартовой площадкой» для возникновения мощного теоретико-методологического и экспериментального фундамента для развития как нового подхода к процессу обучения в общем,  так и прогрессивных, активных форм и методов обучения, в том числе, учебных задач, в частности.

Последующие три десятилетия – с 20-х до конца 50-х годов – были отмечены в отечественной психологии разработкой теоретико-методологической базы для обоснования и дальнейшего развития категории деятельности, над которой трудились лучшие российские представители психологической мысли.

Один из выдающихся психологов нашего времени, Л.С.Выготский, (1896 -1934), автор многочисленных работ по педологии и когнитивному развитию ребенка, основную часть своих исследований посвятил эволюции высших психических функций человека. Анализируя этот процесс, он отмечает, что на первой фазе психического развития ребенок действует с помощью приемов, основанных на примитивных заключениях детской логики, причем, смысл приема для ребенка пока неясен. Однако, развиваясь, он начинает осознанно воспринимать механизмы действия этих приемов и пользоваться ими осмысленно, переходя на следующую ступень развития. Эта вторая ступень «характеризуется возникновением в поведении ребенка опосредствованных процессов, перестраивающих его поведение на основе использования стимулов-знаков и ведущих его к совершенствованию основных психологических функций, переводя к новому, более сложному виду поведения» [6].

Важнейшая роль в достижении ребенком этого нового уровня психического развития отводится, согласно Л.С. Выготскому, задачам с элементами неопределенности. А.Г.Асмолов, анализируя его творчество, подчеркивает сверхактуальность таких задач для сегодняшнего времени. «Если мы не хотим быть, как говорил Выготский, рабами разума и репродуктивного мышления, в образование должна прийти школа неопределенности, когда ребенок решает не стандартные задачи, не типовые задачи, а задачи с избыточными, недостаточными данными, задачи с вероятностной логикой» [7].

Еще один отечественный психолог, М.Я.Басов, проводивший свои исследования в тот же период, что Л.С.Выготский (1892-1931), поставил в центр изучения фактор формирования ребенка как личности. В качестве одной из категорий деятельности этот ученый одним из первых рассмотрел категорию задачи: «Для самых разнообразных жизненных и учебных ситуаций общим является момент задачи как таковой» [8]. Определяя человека как «деятеля в среде», Басов предложил считать его деятельность особой структурой, состоящей из отдельных актов и механизмов, названных им «приемами действия», причем, функция задачи в этой деятельности состоит в «налаживании» связей между этими действиями (9).

Кроме того, важным в выводах М.Я.Басова является учет момента мотивации, что является, пожалуй, первым упоминанием этого понятия применительно к процессу решения задачи – ученый рассматривает задачу как стимул, призванный открыть деятелем то, чего он не знает и что нельзя просто увидеть в предмете; для чего требуется определенное действие с этим предметом» [10].

Далее, М.Я.Басов весьма подробно проанализировал процессуальность деятельности в ходе решения задачи: «Мы начинаем с разложения цельного процесса на элементы, т.е. с микроанализа, но и общий тип процесса деятельности и его структурная архитектоника даны нам также с самого начала, мы опознаем их и принимаем во внимание сразу же, ведя весь последующий анализ на фоне такого общего синтетического восприятия всего процесса в целом» [11].

Большое внимание в его работах уделялось и проблеме, связанной с выбором способа решения задачи, точнее, анализу того, что при этом целесообразнее – предоставить ребенку возможность для самостоятельности и творчества даже в том случае, если какие-то его действия пойдут в разрез логике задач, или указать ему готовый путь (схему) выполнения определенных действий? Последний способ, по мнению Басова, представляет собой серьезную опасность для развития личности [там же].

И, хотя многие аспекты в деятельности Басова подвергались критике его современников, значение его исследований трудно переоценить и на современном этапе развития психологии и педагогики, особенно, когда речь идет о творческом развитии личности, ее самостоятельности, активности.

Мы считаем необходимым обратить внимание на отдельные стороны деятельности еще одного выдающегося психолога, представителя исследуемого нами периода С.Л.Рубинштейна (1889-1960). Один из его тезисов заключался в том, что «психология раскрывает свои тайны в процессе преобразования исследуемых объектов посредством практических действий». В его произведениях значительное внимание уделено и категории «задача». «Сознательное человеческое действие», в том числе, и мыслительный процесс, он рассматривает как «более или менее сознательное решение задачи» [12, с.258]. В ходе этого процесса сообщаемая субъекту другими или осваиваемая им самим внешняя информация становится звеном и объектом мыслительного процесса. Результат анализа субъектом этой информации превращается затем в средства дальнейшего анализа стоящей перед ним задачи. Таким образом, совершение деятельностного процесса «форсирует» развитие личностных психических свойств ребенка в ходе разрешения встающих перед ним конкретных жизненных и учебных задач.

Нельзя не упомянуть еще об одном «задачном» аспекте, имеющем отношение к ее вербальному представлению: С.Л.Рубинштейн отводил весьма существенную роль способам ее формулировки, отмечая, что, по сути, любая задача представляет собой речевое выражение проблемы [13]. Таким образом, он считал необходимым учитывать особенности реакции психики на каждый конкретный способ предъявления задачной информации, что оказывает существенное влияние на эффективность мыслительной деятельности.

Обобщая вышесказанный анализ, мы с уверенностью можем отметить, что этот период в истории развития педагогики стал ключевым для возникновения и развития категории «задача» в психологических исследованиях. В трудах уже обозначенных нами советских психологов 20 – 50-х гг. М.Я.Басова, Л.С.Выготского, С.Л.Рубинштейна и др. был выработан новый взгляд на сущность задачи, учитывающий не только внешние, но и внутренние факторы, определяющие активность личности в процессе их решения.

Важнейшими завоеваниями этого этапа можно считать, в первую очередь, закрепление понятия «задача» в качестве важнейшей категории в психологической науке, разработка теоретического обоснования как связи процесса решения задачи с деятельностью (в контексте теории деятельности), так и значительной роли решения задач для дальнейшего психического развития ребенка. Впервые также четко была выражена необходимость учета мотивационного аспекта как стимула для решения задачи, хотя в скрытом виде он присутствовал ранее в системах упражнений К.Д.Ушинского, Л.Н.Толстого и др., базируясь на принципе связи изучаемого материала с жизнью.

Далее, значительный акцент был сделан на самом процессе решения задачи с точки зрения необходимости алгоритмизации действий.

Кроме того, впервые, пожалуй, исследователями было уделено внимание значению словесного выражения задачи как фактору повышения эффективности мыслительной деятельности.

Необходимо отметить еще одно важное достижение в истории развитии категории «задача» этого периода – это заявленная, исследованная и обоснованная Л.С.Выготским необходимость использования задач с элементами неопределенности, ставшими прообразами современных нестандартных задач.

Подводя итог исследованного нами периода возникновения и теоретического обоснования категории «задача» в контексте исследования понятия деятельности (20-50-е гг.), мы можем с уверенностью констатировать, что на этом этапе были созданы все необходимые научные  предпосылки для дальнейшего развития категории «задача» уже применительно к педагогической науке, обусловившие появление понятия «учебная задача» как самостоятельной дидактической категории.

Для начала одну из легких задач из неравенств алгебры

Задача №1: Докажите, что при любых положительных числах a и b

Доказательство: 

Арифметическое и геометрическое среднее

Что и требовалось доказать.

Как мы видим сама по себе имела очень сложный структурный вид, но решение оказалось очень простым. Далее рассмотрим задачи из теории чисел и геометрии.

Задача №2: Найдите все такие простые числа p при котором соотношение

является квадратом целого числа.

Решение:

Так как p простое то,

Заметим что, НОД ()=1

Если  будет делиться на p то 

а это значит что  тогда a=2k+1 потому что оно должно быть нечетным

Подставляя получим 

Теперь рассмотрим еслибудет делиться на pтогда

 отсюда b должно быть нечетным, то есть

отсюда выходит следующее,а это возсоможно только при t=1 и k=2 подставляя находим что p=7

Ответ: 3 и 7

Задача №3: Точки P и Q — основания перпендикуляров, опущенных из вершины C на прямые, содержащие биссектрисы углов ∠BAC и ∠ABC соответственно. Докажите, что прямые AB и PQ — параллельны.

Доказательство: – Точка пересечения биссектрис , тогда четырёхугольник XQPC описанный , откуда углы ∠QPC=90∘−∠BAC2 и ∠PQC=90∘−∠ABC2 . Тогда если продлить PQ до пересечения со сторонами AC и BC , обозначим точки пересечения X И Y соответственно , то получим что ∠CPX=180∘−∠QPC−∠ABC=∠BAC , так же и с другим углом , проучим что PQ||AB .

Задача№4 Найдите все простые числа p, q и r, для которых выполняется равенство: p + q = (p – q)^r.

Решение: Из условия видно, что p + q делится на p – q, следовательно, (p + q) – (p – q) = 2q также делится на p – q. Делителями числа 2q могут являться только числа 1, 2, q и 2q.
Если p – q = 1, то левая часть исходного равенства больше правой. Если p – q равно q или 2q, то p равно 2q или 3q, то есть число р – не простое. Значит,
р – q = 2. Тогда исходное равенство примет вид: 2q + 2 = 2^r ⇔ q = 2^r–1 – 1. Если r = 2, то q = 1 – не простое число. Значит, r нечетно и r – 1 = 2k. Далее можно рассуждать по-разному.

Первый способ. 2^r–1 – 1 = 4^k – 1 делится на 4 – 1 = 3. Таким образом, q = 3. Тогда р = 5 и r = 3.

Второй способ. Так как q = 2^2k – 1 = (2^k – 1)(2^k + 1), то q может оказаться простым числом только в случае, когда 2^k – 1 = 1. Значит, k = 1, r = 3, q = 3, р = 5.

Ответ: p = 5, q = 3, r = 3.

Задача№5 Найти хотя бы одно целочисленное решение уравнения aІbІ + aІ + bІ + 1 = 2005.

Решение: (aІ + 1)(bІ + 1) = aІbІ + aІ + bІ + 1 = 2005 = 5·401 = 1·2005. Поскольку число 2004 не является полным квадратом, получаем 8 решений; все они получаются из (2, 20) перестановкой и сменой знаков.

Ответ: Например, a = 2, b = 20.

Задача№6 В трапеции ABCD углы при основании AD удовлетворяют неравенствам A < D < 90^o. Докажите, что тогда AC > BD.

Решение: Пусть B₁ и C₁ — проекции точек B и C на основание AD. Так как BAB₁ < CDC₁ и BB₁ = CC₁, то AB₁ > DC₁ и поэтому B₁D < AC₁. Следовательно, BD² = B₁D² + B₁B² <AC₁² + CC₁² = AC².

Задача №7 Даны n точек A₁,…, A_n и окружность радиуса 1. Докажите, что на окружности можно выбрать точку M так, что MA₁ + … + MA_n  n.

Решение: Пусть M₁ и M₂ — диаметрально противоположные точки окружности. Тогда M₁A_k + M₂A_k  M₁M₂ = 2. Складывая эти неравенства для k = 1,…, n, получаем (M₁A₁ + … +M₁A_n) + (M₂A₁ + … + M₂A_n)  2n. Поэтому либо M₁A₁ + … + M₁A_n  n, и тогда положим M = M₁, либо M₂A₁ + … + M₂A_n  n, и тогда положим M = M₂.

Б.А. Кордемский характеризует логические задачи как задачи, «требующие проявления находчивости, смекалки, оригинальности мыш­ления, умения критически оценивать условия или постановку вопроса».[1]

В.А. Далингер, говоря о роли логических задач в обучении математике, относит к таковым те задачи, которые «вызывают у ученика непроизвольный интерес, являющийся следствием необычности сюжета задачи, необычности формы её подачи. Решение таких задач вызывает у учащихся внутренний положительный отклик, развивает у них любознательность. Успешность решения таких задач не должна жестко зависеть от уровня обученности школьников, от овладения ими программного материала». [2]

Д.В. Клеменченко относит к логическим задачам те, при решении которых главное определяющее – это отыскание связей между фактами (часто скрытыми), их сопоставление; установление для достижения поставленной цели цепочки рассуждений, а вот вычисления, построения играют здесь как бы вспомогательную роль. [3]

М.В. Шнейдерман говорит, что логическая задача – это особая информация, которую не только нужно обработать в соответствии с заданным условием, но и хочется это сделать. [4]

Под логической задачей Шатова Н. Д. понимает задачу, где основным видом деятельности является выявление отношений между объектами задачи, а не нахождение количественных характеристик объекта. [5]

В отличие от других задач, присутствующих в школьном курсе математики, решение логических задач ввиду необычной конструкции их
текста, постановки вопроса и зачастую более сложной связи между данными и искомыми трудно алгоритмизируемо. Логические задачи – это
задачи, в которых соотношения между данными и искомыми редко поддаются описанию с помощью известных моделей; специфика этих задач
такова, что учащиеся испытывают значительные затруднения при краткой
записи их условия, при создании алгоритмов решения и использовании.

По мнению Шатовой, логические  задачи – это  своеобразная «гимнастика  для  ума»,  средство  для утоления естественной для каждого мыслящего человека потребности испытывать и развивать силу собственного разума и интеллекта в целом. [5]

В узком смысле понятие логической задачи, по мнению Вечтомова Е.М, предполагает некую «изюминку», определённую нестандартность – будь то необычное условие задачи, оригинальная идея,  неожиданное  решение.  Для  их  решения  важно  умение  «увидеть»  существо дела, которое само вырабатывается и формируется в процессе размышления над логическими задачами. [6]

Советский и российский ученый Крушинский Л. В. считает, что элементарная логическая задача – это задача, которая характеризуется логической связью между составляющими ее элементами. Благодаря этому она может быть решена экстренно, при первом же предъявлении, за счет мысленного анализа ее условий.

Профессор Е. С. Канин, не ставя цель определить понятие «логическая задача», относит к ним такие задачи, которые на первый взгляд не являются математическими, но в то же время требуют для своего решения формулирования суждений (высказываний), построения умозаключений и их цепочек.

По его мнению, многие  олимпиадные  математические  задачи  (вплоть  до  областного  уровня) можно считать логическими.

Поскольку при решении логических задач строятся умозаключения, то при этом приходится применять и общие методы решения математических задач, такие как метод выведения, метод исчерпывающих проб, метод сведения к противоречию и др.

Проанализировав различные подходы к определению понятия «логическая задача», мы придерживаемся определения, сформулированного Ончуковой Л.В., которая характеризует логическую задачу как задачу, при решении которой главным и определяющим является отыскание связи между фактами, сопоставление их, построение цепочки рассуждений для достижения цели. [7]

По нашему мнению, к таким задачам относятся:

1)                Задачи, решаемые с помощью метода «здравых суждений».

Пример. В три банки с надписями «малиновое», «клубничное» и «малиновое или клубничное» налили смородиновое, малиновое и клубничное варенье. Все надписи оказались неправильными. Какое варенье налили в банку “клубничное”?

2)                Задачи, решаемые с помощью составления таблиц.

Пример. Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в соревновании, причём никакие два мальчика не делили между собой какие-нибудь места. На вопрос, кто какое место занял, Коля ответил:  «Ни первое, ни четвёртое»; Борис сказал: «Второе», а Вова заметил, что он был не последним. Какое место занял каждый из мальчиков?

3)                Задачи, решаемые с помощью построения графов.

Пример. Маленькая волшебница умеет превращать книгу в чайник, цветок в книгу и бабочку, бабочку в пчелу, камень в мячик и зайчика, мячик в бабочку или пчелу, зайчика в бабочку, а пчелу – только в камень. Сможет ли она превратить пчелу в чайник?

4)                Задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера.

Пример. Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 12 ребят смотрели фильм «Гарри Поттер», 9 человек – фильм «Малефисента», из них 6 смотрели и «Гарри Поттер», и «Малефисента». Сколько человек смотрели только фильм «Малефисента»?

5)                Задачи, решаемые с применением алгебры высказываний.

Пример. Один из трех братьев поставил на скатерть кляксу.

«Кто испачкал скатерть?» – спросила бабушка.

«Витя не ставил кляксу», – сказал Алеша. – «Это сделал Боря».

«Ну, а ты, что скажешь?» – спросила бабушка Борю.

«Это Витя поставил кляксу», – сказал Боря. – «А Алеша не пачкал
скатерть».

«Так я и знала, что вы друг на друга сваливать будете», – рассердилась
бабушка. – «Ну, а каков твой ответ?», – спросила она Витю.

«Не сердись, бабуля! Я знаю, что Боря не мог это сделать. А я сегодня
не готовил уроки», – сказал Витя.

Оказалось, что двое мальчиков в каждом из двух своих заявлений сказали правду, а один оба раза сказал неправду. Кто поставил на скатерть кляксу?