УДК 37.04

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ВЫБОРА ОПТИМАЛЬНОГО НАБОРА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ТЕСТА

Козлов Сергей Валерьевич
ФГБОУ ВПО «Смоленский государственный университет»
кандидат педагогических наук, доцент доцент кафедры информатики

Аннотация
В работе описаны критерии выбора оптимального набора тестовых заданий. Рассмотрены подходы формирования индивидуального теста с использованием математического аппарата импликативных матриц. Дан анализ комплектования индивидуального теста по теме «Системы уравнений».

Ключевые слова: графовая модель изучаемого материала, импликативная матрица, индивидуальное тестирование, индивидуальный набор тестовых заданий, индивидуальный тест, личностно-ориентированная обучающая система, методы математического моделирования, тестовое задание


THE MATHEMATICAL ASPECTS OF CHOICE OF AN OPTIMAL SET OF TEST TASKS OF THE INDIVIDUAL TEST

Kozlov Sergey Valeryevich
Smolensk State University
Ph.D. in Pedagogical Sciences, Associate Professor assistant professor of Computer Science

Abstract
In the work the criteria of choice of an optimal set of test tasks are described. Different approaches of formation of the individual test with mathematical apparatus use of implicative matrixes are considered. The analysis of acquisition of the individual test on the theme "The System of Equations" is given.

Keywords: an individual set of test tasks, graph model, implicative matrix, individual test, individual testing, methods of mathematical modeling, personality-oriented teaching system, test task


Рубрика: Педагогика

Библиографическая ссылка на статью:
Козлов С.В. Математические аспекты выбора оптимального набора тестовых заданий индивидуального теста // Психология, социология и педагогика. 2014. № 9 [Электронный ресурс]. URL: http://psychology.snauka.ru/2014/09/3603 (дата обращения: 30.09.2017).

В основе функционирования личностно-ориентированных обучающих систем, как инвариантная подсистема, лежит система индивидуального тестирования [1]. Она обеспечивает инновационный характер всей системы в целом в силу математических методов и алгоритмов, заложенных при ее проектировании. Новизну таких систем определяет разработка новых математических методов или нестандартное использование уже имеющихся математических инструментов [2, 3, 4, 5]. Система индивидуального тестирования применяется как средство мониторинга и диагностики различного рода процессов личностно-ориентированной обучающей системы как элемента единого информационно-образовательного пространства [6].

В личностно-ориентированной обучающей системе, описанной в [7, 8], в качестве фундаментальной инструментальной базы системы индивидуального тестирования использованы алгоритмы на графовых моделях и математический аппарат импликативных матриц. Остановимся в данной статье более подробно на применении математического аппарата импликативных матриц при формировании критериально-ориентированного индивидуального теста.

Итак, заключительным этапом алгоритма формирования критериально-ориентированного индивидуального теста в личностно ориентированной обучающей системе является выбор оптимального набора тестовых заданий [9].

Пусть для диагностики и проверки знаний, умений и навыков учащегося по некоторой теме курса математики имеется система индивидуальных тестовых заданий T={T1, T2, …, Tk}. Каждое из тестовых заданий Ti предназначено для контроля определенного набора элементов знаний.

Соответствие между элементами знаний изучаемого материала и тестовыми заданиями представим в виде импликативной матрицы. Импликативная матрица представляет собой таблицу, строки которой соответствуют тестовым заданиям, а столбцы элементам знания изучаемого материала (таблица 1).

Сформируем индивидуальный тест IT={IT1, IT2, …, ITl}, проверяющий заданный набор A элементов знаний. Данный набор устанавливается в зависимости от множества M вершин, ассоциированных с неусвоенными элементами знания.

Таблица 1 – Импликативная матрица системы индивидуальных тестовых заданий T={T1, T2, …, Tk}

Идентификатор тестового задания

Элементы знаний изучаемого материала

a1

a2

an – 1

an

T1

+

T2

+

+

T3

+

+

+

T4

+

+

+

Tk

+

+

В качестве примера в виде импликативной матрицы представим набор индивидуальных тестовых заданий T1-T5 по теме «Системы уравнений» (таблица 2) [10]. Для проверки неусвоенных элементов знаний можно сформировать индивидуальный тест T={T1, T2, T3, T4, T5}.

Таблица 2 – Импликативная матрица системы индивидуальных тестовых заданий T={T1, T2, T3, T4, T5}

Базовые случаи

1.1 – 1.3

Номер тестового задания

Элементы знаний изучаемого материала

Неусвоенные элементы знаний

Усвоенные элементы знаний

05

06

07

09

16

17

42

43

44

45

04

07

18

1.1

T1

+

+

T2

+

1.2

T3

+

+

1.3

T4

+

+

+

+

+

T5

+

+

+

+

T1. Равносильными уравнениями на множестве всех действительных чисел являются

1)     x2 = x3 и x = 1

2)     x + 1 = 0 и (x + 1)(x + 2) = 0

3)     x + 1 = 0 и (x + 1)(x2 + 2) = 0

4)     x = 5 и x2 – 5x = 0

T2. Решением уравнения x2 – 2x – 4 = 0 является число

1)     1

2)     2

3)     -1

4)     -2

T3. Равносильными уравнению x + 2 = x2 на множестве всех действительных чисел являются уравнения

1)     x2x – 2 = 0

2)     5(x + 2) = 5x2

3)     x(x + 2) = x3

4)     (x + 2)(x2 + 5) = x2(x2 + 5)

T4. Решение однородной системы уравнений

1)     (-9, -11); (9; 11)

2)     (9, 11); (11; 9)

3)     (-11, -9); (9; 11)

4)     (-9, -11); (11; 9)

T5. Симметрической системой уравнений является

Полученный в результате этого индивидуальный тест может оказаться не оптимальным по набору входящих в него тестовых заданий. Поэтому естественно потребовать, чтобы индивидуальный тест выбирался в соответствии с некоторыми критериями оптимальным образом [11]. В качестве таких критериев могут выступать следующие:

К1. В тесте должно быть минимальное (или максимальное) число проверяемых «лишних» элементов знаний.

К2. Тест должен содержать, как можно более простые тестовые задания. Сложность тестовых заданий можно оценивать, например:

а) числом проверяемых элементов знаний;

б) максимальным расстоянием (на семантической сети) между содержащимися в одном тестовом задании контролируемыми элементами знаний;

в) экспертными оценками;

г) предполагаемым временем выполнения тестового задания.

К3. Тест должен содержать минимальное число тестовых заданий.

К4. Элементы знаний из заданного набора A должны повторяться не менее n раз (и (или) не более m раз).

Очевидно, такие тесты могут быть сформулированы различными способами. Так, например, для проверки набора элементов знаний A = {a1, a2} можно сформировать тесты

IT1={T1, T2}, IT2={T3}, IT3={T4},

каждый из которых обладает своими достоинствами и недостатками (см. таблицу 1).

Тест IT1 состоит из двух тестовых заданий T1 и T2, контролирующих элементы знаний из набора A. При этом он почти не перегружен проверкой «лишних» элементов знаний – сверх предназначенных для проверки элементов знаний из набора A в нем контролируется только один элемент an.

Тест IT2 состоит только из одного тестового задания T3, и в этом смысле он лучше теста IT1. С другой стороны, тестовое задание T3 сложнее каждого из тестовых заданий T1 и T2 (например, потому, что перегружено по числу контролируемых элементов знаний).

Тест IT3 состоит только из одного тестового задания T4, но может оказаться не равнозначным тесту IT2, например, из-за большого семантического расстояния между элементами знаний a2 и an (см. таблицу 1).

Для всех перечисленных задач автором построены математические модели и предложены решения, допускающие реализацию на персональном компьютере [12]. В решениях были использованы алгоритм выбора минимального числа строк, покрывающих импликативную матрицу, алгоритм нахождения минимального покрытия заданного множества вершин в графе, алгоритм отыскания n–кратного покрытия и другие алгоритмы [13, 14, 15, 16, 17].

Например, в таблице 3 представлен в виде импликативной матрицы набор заданий индивидуального теста для множества вершин M={2,3,6}, графовой модели G изучаемого материала (рис. 1).

Рисунок 1 – Графовая модель G изучаемого материала

В данном случае набор тестовых заданий возможно оптимизировать, удалив из него задание 4 (или 2). Затем в соответствии с указанными критериями формируем индивидуальные тесты IT1={T1, T2, T3}, IT2={T1, T2, T3, T5}, IT3={T2, T3}, IT4={T2, T5} и др. После чего выбираем в силу тех или иных условий наиболее подходящий вариант индивидуального теста.

Таблица 3 – Импликативная матрица набора заданий индивидуального теста для множества вершин M={2,3,6}

Базовые случаи

1.1 – 1.3

Номер тестового задания

Элементы знаний изучаемого материала

Неусвоенные элементы знаний

Усвоенные элементы знаний

2

3

6

7

1.1

1

+

2

+

+

3

+

1.2

4

+

+

1.3

5

+

+

+

Таким образом, используя математический аппарат импликативных матриц, мы получаем индивидуальный тест, отвечающий запросу ученика [18]. Такой тест учитывает индивидуальные особенности учащихся в усвоении учебного материала, оптимально развивая с уже достигнутого уровня обученности, вопросы охватывают весь объём предметного курса.

Применение инновационных математических методов для формализации различных элементов образовательного процесса [19] подобных рассмотренным подходам в статье позволяет наиболее эффективно организовывать обучение в контексте личностно-ориентированного обучения. Особенно действенно личностно-ориентированное обучение с использованием системы индивидуального тестирования для организации профилизации учебного процесса в старших классах школы [20, 21, 22]. Элементы инновационной системы индивидуального тестирования широко применяются при разработке программных продуктов автоматизированной поддержки работы учителя студентами физико-математического профиля направления подготовки «Педагогическое образование» [23]. Данные программные оболочки успешно используются студентами при организации обучения во время педагогической практики и в последующем внедряются учителями в образовательный процесс [24, 25]. Экспериментальные исследования в предпрофильных и профильных классах подтверждают высокую результативность применения математических методов с использованием импликативных матриц в обучении математике и информатике в школе [26, 27].


Библиографический список
  1. Козлов С. В. Индивидуальное тестирование в условиях личностно ориентированного обучения // Актуальные проблемы дидактики высшей школы: современные технологии обучения. – Смоленск: СмолГУ, 2007. – Вып. 2. С. 201-211.
  2. Киселева О. М. Применение методов математического моделирования в обучении: дисс… канд. пед. наук. – Смоленск, 2007. – 181 с.
  3. Сенькина Г. Е., Емельченков Е. П., Киселева О. М. Методы математического моделирования в обучении: монография. – Смоленск, 2007. – 112 с.
  4. Киселева О. М. Научные аспекты применения математического моделирования // Всероссийская научно-практическая Конференция «Математическое образование в школе будущего: традиции и инновации». – Елец, 2011. – С. 101-104.
  5. Козлов С. В. Использование математического аппарата теории графов для построения модели предметной области в информационном образовательном пространстве «Средняя школа – ВУЗ» // Инфокоммуникационные технологии в региональном развитии: Сборник трудов четвертой ежегодной межрегиональной научно-практической конференции. – Смоленск: СПЭК, 2011. – С.108-110.
  6. Козлов С. В. Место и роль индивидуального тестирования в рамках единого информационного образовательного пространства «Средняя школа – ВУЗ» // Математическая морфология: электронный математический и медико-биологический журнал. – Т. 9. – Вып. 4. – Смоленск: СГМА, 2010.
  7. Козлов С. В. Педагогическое проектирование индивидуального тестирования в личностно ориентированной обучающей системе: дис. … канд. пед. наук: 13.00.01 и 13.00.02: защищена 24.05.06: утв. 20.11.06 / Козлов Сергей Валерьевич. – Смоленск, 2006. – 204 с.
  8. Козлов С. В. Педагогическое проектирование индивидуального тестирования в личностно ориентированной обучающей системе: автореферат дис. … канд. пед. наук. – Смоленск, 2006. – 18 с.
  9. Козлов С. В., Емельченков Е. П. Оптимизация процесса подбора тестовых заданий // Системы компьютерной математики и их приложения. – Смоленск: СГПУ, 2005. С. 182-183.
  10. Козлов С. В., Емельченков Е. П. Выбор оптимального набора тестовых заданий // Методология и методика информатизации образования: концепции, программы, технологии: материалы Всероссийской научно-практической конференции 17-19 октября 2005 года. – Смоленск: СГПУ, 2005. – Вып. 2. – С. 37-38.
  11. Емельченков Е. П., Бояринов Д. А., Козлов С. В. Информационное образовательное пространство: модели и технологии: монография / Е. П. Емельченков, Д. А. Бояринов, С. В. Козлов, З. А. Нырцова, А. П. Борисов. – Смоленск, 2010. – 216 с.
  12. Емельченков Е. П., Бояринов Д. А., Козлов С. В. Информационные системы автоматизированной поддержки инновационной деятельности: модели, проектирование и реализация. – Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2011. – 164 с.
  13. Березина Л. Ю. Графы и их применение. – М.: Просвещение, 1979. – 178 с.
  14. Берж К. Теория графов и её применение. – М., 1962. – 374 с.
  15. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. – М.: Мир, 1978. – 432 с.
  16. Оре О. Графы и их применение. – М., Мир, 1965. – 174 с.
  17. Харари Ф. Теория графов. – М., Мир, 1973. – 300 с.
  18. Козлов С. В. Основы применения педагогической технологии индивидуального тестирования для формирования оптимальной траектории обучения //Современные научные исследования и инновации. – 2014. – № 4 (36). – С. 76.
  19. Киселева О. М. Использование математических методов для формализации элементов образовательного процесса // Научно-методический электронный журнал «Концепт». – 2013. – № 02 (февраль). – ART 13001. – 0,4 п. л. – [Электронный ресурс] – URL: http://e-koncept.ru/2013/13032.htm. – Гос. рег. Эл № ФС 77- 49965. – ISSN 2304-120X. – [Дата обращения 09.02.2013].
  20. Козлов С. В. Актуальные вопросы использования адаптивных информационно-образовательных систем в профильной школе // Наука и образование в XXI веке: сборник научных трудов по материалам международной научно-практической конференции 30 сентября2013 г.: в 34 частях. – Ч. 21. – Тамбов: Бизнес-Наука-Общество, 2013. – С. 48-51.
  21. Козлов С. В. Особенности обучения школьников информатике в профильной школе // Научно-методический электронный журнал «Концепт». – 2014. – № 1. – С. 31-35. ART 14006. – URL: http://e-koncept.ru/2014/14006.htm.
  22. Козлов С. В. Организация обучения информатике в профильной школе с использованием инновационных образовательных систем // Инфокоммуникационные технологии в региональном развитии: Сборник трудов седьмой ежегодной межрегиональной научно-практической конференции. – Смоленск: СПЭК, 2014. – С.71-73.
  23. Козлов С. В. Структура, содержание и специфика вычислительной практики студентов математического профиля направления подготовки «Педагогическое образование» // Гуманитарные научные исследования. – 2014. № 7 [Электронный ресурс]. URL: http://human.snauka.ru/2014/07/7387 (дата обращения: 31.07.2014).
  24. Козлов С. В. Вопросы внедрения и использования образовательных автоматизированных систем в учебном процессе // Инфокоммуникационные технологии в региональном развитии: сборник трудов шестой ежегодной межрегиональной научно-практической конференции. – Смоленск: СПЭК, 2013. – С.129-133.
  25. Козлов С. В. Актуальные вопросы развития инновационных информационных технологий и систем в образовании // Проблемы и перспективы инновационного развития территорий: материалы международной научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава. – Ч.1. – Коломна: МГОСГИ, 2013. – С.173-176.
  26. Козлов С. В. Анализ результатов участия учащихся в дне науки по информатике в контексте организации профильного обучения // Гуманитарные научные исследования. – 2014. – № 4 (32). – С. 16.
  27. Козлов С. В. Анализ результатов экспериментальной деятельности по изучению основ объектно-ориентированного программирования в школьном курсе информатики // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 6-3 (38). С. 16.


Все статьи автора «Козлов Сергей Валерьевич»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: