В основе функционирования личностно-ориентированных обучающих систем, как инвариантная подсистема, лежит система индивидуального тестирования [1]. Она обеспечивает инновационный характер всей системы в целом в силу математических методов и алгоритмов, заложенных при ее проектировании. Новизну таких систем определяет разработка новых математических методов или нестандартное использование уже имеющихся математических инструментов [2, 3, 4, 5]. Система индивидуального тестирования применяется как средство мониторинга и диагностики различного рода процессов личностно-ориентированной обучающей системы как элемента единого информационно-образовательного пространства [6].
В личностно-ориентированной обучающей системе, описанной в [7, 8], в качестве фундаментальной инструментальной базы системы индивидуального тестирования использованы алгоритмы на графовых моделях и математический аппарат импликативных матриц. Остановимся в данной статье более подробно на применении математического аппарата импликативных матриц при формировании критериально-ориентированного индивидуального теста.
Итак, заключительным этапом алгоритма формирования критериально-ориентированного индивидуального теста в личностно ориентированной обучающей системе является выбор оптимального набора тестовых заданий [9].
Пусть для диагностики и проверки знаний, умений и навыков учащегося по некоторой теме курса математики имеется система индивидуальных тестовых заданий T={T1, T2, …, Tk}. Каждое из тестовых заданий Ti предназначено для контроля определенного набора элементов знаний.
Соответствие между элементами знаний изучаемого материала и тестовыми заданиями представим в виде импликативной матрицы. Импликативная матрица представляет собой таблицу, строки которой соответствуют тестовым заданиям, а столбцы элементам знания изучаемого материала (таблица 1).
Сформируем индивидуальный тест IT={IT1, IT2, …, ITl}, проверяющий заданный набор A элементов знаний. Данный набор устанавливается в зависимости от множества M вершин, ассоциированных с неусвоенными элементами знания.
Таблица 1 – Импликативная матрица системы индивидуальных тестовых заданий T={T1, T2, …, Tk}
Идентификатор тестового задания |
Элементы знаний изучаемого материала |
||||
a1 |
a2 |
… |
an – 1 |
an |
|
T1 |
+ |
||||
T2 |
+ |
+ |
|||
T3 |
+ |
+ |
+ |
||
T4 |
+ |
+ |
+ |
||
… |
|||||
Tk |
+ |
+ |
В качестве примера в виде импликативной матрицы представим набор индивидуальных тестовых заданий T1-T5 по теме «Системы уравнений» (таблица 2) [10]. Для проверки неусвоенных элементов знаний можно сформировать индивидуальный тест T={T1, T2, T3, T4, T5}.
Таблица 2 – Импликативная матрица системы индивидуальных тестовых заданий T={T1, T2, T3, T4, T5}
Базовые случаи 1.1 – 1.3 |
Номер тестового задания |
Элементы знаний изучаемого материала |
||||||||||||
Неусвоенные элементы знаний |
Усвоенные элементы знаний |
|||||||||||||
05 |
06 |
07 |
09 |
16 |
17 |
42 |
43 |
44 |
45 |
04 |
07 |
18 |
||
1.1 |
T1 |
+ |
+ |
|||||||||||
T2 |
+ |
|||||||||||||
1.2 |
T3 |
+ |
+ |
|||||||||||
1.3 |
T4 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
||||||||
T5 |
+ |
+ |
+ |
+ |
T1. Равносильными уравнениями на множестве всех действительных чисел являются
1) x2 = x3 и x = 1
2) x + 1 = 0 и (x + 1)(x + 2) = 0
3) x + 1 = 0 и (x + 1)(x2 + 2) = 0
4) x = 5 и x2 – 5x = 0
T2. Решением уравнения x2 – 2x – 4 = 0 является число
1) 1
2) 2
3) -1
4) -2
T3. Равносильными уравнению x + 2 = x2 на множестве всех действительных чисел являются уравнения
1) x2 – x – 2 = 0
2) 5(x + 2) = 5x2
3) x(x + 2) = x3
4) (x + 2)(x2 + 5) = x2(x2 + 5)
T4. Решение однородной системы уравнений
1) (-9, -11); (9; 11)
2) (9, 11); (11; 9)
3) (-11, -9); (9; 11)
4) (-9, -11); (11; 9)
T5. Симметрической системой уравнений является
Полученный в результате этого индивидуальный тест может оказаться не оптимальным по набору входящих в него тестовых заданий. Поэтому естественно потребовать, чтобы индивидуальный тест выбирался в соответствии с некоторыми критериями оптимальным образом [11]. В качестве таких критериев могут выступать следующие:
К1. В тесте должно быть минимальное (или максимальное) число проверяемых «лишних» элементов знаний.
К2. Тест должен содержать, как можно более простые тестовые задания. Сложность тестовых заданий можно оценивать, например:
а) числом проверяемых элементов знаний;
б) максимальным расстоянием (на семантической сети) между содержащимися в одном тестовом задании контролируемыми элементами знаний;
в) экспертными оценками;
г) предполагаемым временем выполнения тестового задания.
К3. Тест должен содержать минимальное число тестовых заданий.
К4. Элементы знаний из заданного набора A должны повторяться не менее n раз (и (или) не более m раз).
Очевидно, такие тесты могут быть сформулированы различными способами. Так, например, для проверки набора элементов знаний A = {a1, a2} можно сформировать тесты
IT1={T1, T2}, IT2={T3}, IT3={T4},
каждый из которых обладает своими достоинствами и недостатками (см. таблицу 1).
Тест IT1 состоит из двух тестовых заданий T1 и T2, контролирующих элементы знаний из набора A. При этом он почти не перегружен проверкой «лишних» элементов знаний – сверх предназначенных для проверки элементов знаний из набора A в нем контролируется только один элемент an.
Тест IT2 состоит только из одного тестового задания T3, и в этом смысле он лучше теста IT1. С другой стороны, тестовое задание T3 сложнее каждого из тестовых заданий T1 и T2 (например, потому, что перегружено по числу контролируемых элементов знаний).
Тест IT3 состоит только из одного тестового задания T4, но может оказаться не равнозначным тесту IT2, например, из-за большого семантического расстояния между элементами знаний a2 и an (см. таблицу 1).
Для всех перечисленных задач автором построены математические модели и предложены решения, допускающие реализацию на персональном компьютере [12]. В решениях были использованы алгоритм выбора минимального числа строк, покрывающих импликативную матрицу, алгоритм нахождения минимального покрытия заданного множества вершин в графе, алгоритм отыскания n–кратного покрытия и другие алгоритмы [13, 14, 15, 16, 17].
Например, в таблице 3 представлен в виде импликативной матрицы набор заданий индивидуального теста для множества вершин M={2,3,6}, графовой модели G изучаемого материала (рис. 1).
Рисунок 1 – Графовая модель G изучаемого материала
В данном случае набор тестовых заданий возможно оптимизировать, удалив из него задание 4 (или 2). Затем в соответствии с указанными критериями формируем индивидуальные тесты IT1={T1, T2, T3}, IT2={T1, T2, T3, T5}, IT3={T2, T3}, IT4={T2, T5} и др. После чего выбираем в силу тех или иных условий наиболее подходящий вариант индивидуального теста.
Таблица 3 – Импликативная матрица набора заданий индивидуального теста для множества вершин M={2,3,6}
Базовые случаи 1.1 – 1.3 |
Номер тестового задания |
Элементы знаний изучаемого материала |
|||
Неусвоенные элементы знаний |
Усвоенные элементы знаний |
||||
2 |
3 |
6 |
7 |
||
1.1 |
1 |
+ |
|||
2 |
+ |
+ |
|||
3 |
+ |
||||
1.2 |
4 |
+ |
+ |
||
1.3 |
5 |
+ |
+ |
+ |
Таким образом, используя математический аппарат импликативных матриц, мы получаем индивидуальный тест, отвечающий запросу ученика [18]. Такой тест учитывает индивидуальные особенности учащихся в усвоении учебного материала, оптимально развивая с уже достигнутого уровня обученности, вопросы охватывают весь объём предметного курса.
Применение инновационных математических методов для формализации различных элементов образовательного процесса [19] подобных рассмотренным подходам в статье позволяет наиболее эффективно организовывать обучение в контексте личностно-ориентированного обучения. Особенно действенно личностно-ориентированное обучение с использованием системы индивидуального тестирования для организации профилизации учебного процесса в старших классах школы [20, 21, 22]. Элементы инновационной системы индивидуального тестирования широко применяются при разработке программных продуктов автоматизированной поддержки работы учителя студентами физико-математического профиля направления подготовки «Педагогическое образование» [23]. Данные программные оболочки успешно используются студентами при организации обучения во время педагогической практики и в последующем внедряются учителями в образовательный процесс [24, 25]. Экспериментальные исследования в предпрофильных и профильных классах подтверждают высокую результативность применения математических методов с использованием импликативных матриц в обучении математике и информатике в школе [26, 27].
Библиографический список
- Козлов С. В. Индивидуальное тестирование в условиях личностно ориентированного обучения // Актуальные проблемы дидактики высшей школы: современные технологии обучения. – Смоленск: СмолГУ, 2007. – Вып. 2. С. 201-211.
- Киселева О. М. Применение методов математического моделирования в обучении: дисс… канд. пед. наук. – Смоленск, 2007. – 181 с.
- Сенькина Г. Е., Емельченков Е. П., Киселева О. М. Методы математического моделирования в обучении: монография. – Смоленск, 2007. – 112 с.
- Киселева О. М. Научные аспекты применения математического моделирования // Всероссийская научно-практическая Конференция «Математическое образование в школе будущего: традиции и инновации». – Елец, 2011. – С. 101-104.
- Козлов С. В. Использование математического аппарата теории графов для построения модели предметной области в информационном образовательном пространстве «Средняя школа – ВУЗ» // Инфокоммуникационные технологии в региональном развитии: Сборник трудов четвертой ежегодной межрегиональной научно-практической конференции. – Смоленск: СПЭК, 2011. – С.108-110.
- Козлов С. В. Место и роль индивидуального тестирования в рамках единого информационного образовательного пространства «Средняя школа – ВУЗ» // Математическая морфология: электронный математический и медико-биологический журнал. – Т. 9. – Вып. 4. – Смоленск: СГМА, 2010.
- Козлов С. В. Педагогическое проектирование индивидуального тестирования в личностно ориентированной обучающей системе: дис. … канд. пед. наук: 13.00.01 и 13.00.02: защищена 24.05.06: утв. 20.11.06 / Козлов Сергей Валерьевич. – Смоленск, 2006. – 204 с.
- Козлов С. В. Педагогическое проектирование индивидуального тестирования в личностно ориентированной обучающей системе: автореферат дис. … канд. пед. наук. – Смоленск, 2006. – 18 с.
- Козлов С. В., Емельченков Е. П. Оптимизация процесса подбора тестовых заданий // Системы компьютерной математики и их приложения. – Смоленск: СГПУ, 2005. С. 182-183.
- Козлов С. В., Емельченков Е. П. Выбор оптимального набора тестовых заданий // Методология и методика информатизации образования: концепции, программы, технологии: материалы Всероссийской научно-практической конференции 17-19 октября 2005 года. – Смоленск: СГПУ, 2005. – Вып. 2. – С. 37-38.
- Емельченков Е. П., Бояринов Д. А., Козлов С. В. Информационное образовательное пространство: модели и технологии: монография / Е. П. Емельченков, Д. А. Бояринов, С. В. Козлов, З. А. Нырцова, А. П. Борисов. – Смоленск, 2010. – 216 с.
- Емельченков Е. П., Бояринов Д. А., Козлов С. В. Информационные системы автоматизированной поддержки инновационной деятельности: модели, проектирование и реализация. – Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2011. – 164 с.
- Березина Л. Ю. Графы и их применение. – М.: Просвещение, 1979. – 178 с.
- Берж К. Теория графов и её применение. – М., 1962. – 374 с.
- Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. – М.: Мир, 1978. – 432 с.
- Оре О. Графы и их применение. – М., Мир, 1965. – 174 с.
- Харари Ф. Теория графов. – М., Мир, 1973. – 300 с.
- Козлов С. В. Основы применения педагогической технологии индивидуального тестирования для формирования оптимальной траектории обучения //Современные научные исследования и инновации. – 2014. – № 4 (36). – С. 76.
- Киселева О. М. Использование математических методов для формализации элементов образовательного процесса // Научно-методический электронный журнал «Концепт». – 2013. – № 02 (февраль). – ART 13001. – 0,4 п. л. – [Электронный ресурс] – URL: http://e-koncept.ru/2013/13032.htm. – Гос. рег. Эл № ФС 77- 49965. – ISSN 2304-120X. – [Дата обращения 09.02.2013].
- Козлов С. В. Актуальные вопросы использования адаптивных информационно-образовательных систем в профильной школе // Наука и образование в XXI веке: сборник научных трудов по материалам международной научно-практической конференции 30 сентября2013 г.: в 34 частях. – Ч. 21. – Тамбов: Бизнес-Наука-Общество, 2013. – С. 48-51.
- Козлов С. В. Особенности обучения школьников информатике в профильной школе // Научно-методический электронный журнал «Концепт». – 2014. – № 1. – С. 31-35. ART 14006. – URL: http://e-koncept.ru/2014/14006.htm.
- Козлов С. В. Организация обучения информатике в профильной школе с использованием инновационных образовательных систем // Инфокоммуникационные технологии в региональном развитии: Сборник трудов седьмой ежегодной межрегиональной научно-практической конференции. – Смоленск: СПЭК, 2014. – С.71-73.
- Козлов С. В. Структура, содержание и специфика вычислительной практики студентов математического профиля направления подготовки «Педагогическое образование» // Гуманитарные научные исследования. – 2014. № 7 [Электронный ресурс]. URL: http://human.snauka.ru/2014/07/7387 (дата обращения: 31.07.2014).
- Козлов С. В. Вопросы внедрения и использования образовательных автоматизированных систем в учебном процессе // Инфокоммуникационные технологии в региональном развитии: сборник трудов шестой ежегодной межрегиональной научно-практической конференции. – Смоленск: СПЭК, 2013. – С.129-133.
- Козлов С. В. Актуальные вопросы развития инновационных информационных технологий и систем в образовании // Проблемы и перспективы инновационного развития территорий: материалы международной научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава. – Ч.1. – Коломна: МГОСГИ, 2013. – С.173-176.
- Козлов С. В. Анализ результатов участия учащихся в дне науки по информатике в контексте организации профильного обучения // Гуманитарные научные исследования. – 2014. – № 4 (32). – С. 16.
- Козлов С. В. Анализ результатов экспериментальной деятельности по изучению основ объектно-ориентированного программирования в школьном курсе информатики // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 6-3 (38). С. 16.